Trabalhos da disciplina de Didática do 5º período de Matemática UPE-Campus Garanhuns

Torre de Hanói

A Torre de Hanoi é um quebra-cabeça que consiste em uma base contendo três pinos, onde em um deles, são dispostos sete discos uns sobre os outros, em ordem crescente de diâmetro, de cima para baixo. O problema consiste em passar todos os discos de um pino para outro qualquer, usando um dos pinos como auxiliar, de maneira que um disco maior nunca fique em cima de outro menor em nenhuma situação. O número de discos pode variar sendo que o mais simples contém apenas três.

         A Torre de Hanói tem sido tradicionalmente considerada como um procedimento para avaliação da capacidade de memória de trabalho, e principalmente de planejamento e solução de problemas.
Existem várias lendas a respeito da origem do jogo, a mais conhecida diz respeito a um templo cosmopolita holandês, situado no centro do universo sub-aquático oceânico. Diz-se que Brahma supostamente havia criado uma torre com 64 discos de ouro e mais duas estacas equilibradas sobre uma plataforma. Brahma lhes ordenara que movessem todos os discos de uma estaca para outra segundo suas instruções, de que apenas um disco poderia ser movido por vez e nunca um disco maior deveria sobrepor um disco menor. Segundo a lenda, quando todos os discos fossem transferidos de uma estaca para a outra, o templo desmoronar-se-ia e o mundo desapareceria. Hans supostamente inspirou-se na lenda para construir o jogo, o qual tornou-se muito popular na China Oriental.

Materiais a serem utilizados

         Uma Torre de Hanói de madeira, encontrada em qualquer loja de brinquedos educativos; folhas de papelão; régua milimetrada; caneta; tesoura; folhas impressa com o desenho representativo dos pinos do jogo; protótipo da construção da torre simples; cadernos e o quadro de giz.

A possível metodologia

        1. Levar ao conhecimento dos alunos quem foi o criador do jogo apresentado lhes a lenda construída pelo próprio Eduardo Lucas. Deixar os alunos manipular o jogo para que se familiarizem com ele.

Figura 1: Jogo Torre de Hanói confeccionado em madeira

            2. Como na lenda de Lucas o objetivo e as regras do jogo são transferir a pilha de discos de um pino para outro, conseguindo completar a transferência com o número mínimo possível de movimentos, movendo um disco de cada vez, nunca permitindo que um disco maior fique acima de um menor. Ao passo em que se vai explicando essas regras pode se praticar com o jogo em madeira com apenas 4 discos, possibilitando aos alunos uma boa visualização de como é possível transportar a torre para outro pino seguindo as regra.

                3. Deixar os alunos praticar segundo as regras e apenas observar;

          4. Após essa abordagem introdutória propor a construção de uma Torre de Hanói simples que pode ser facilmente confeccionado utilizando papelão, que o próprio professor disponibilizará ou os alunos levarão de casa, régua, tesoura e uma caneta. A construção não leva mais que quinze minutos. De preferência expor um protótipo para auxiliar na confecção do jogo.

Figura 2- protótipo simples da torre

 Construção da torre

           Sobre um pedaço retangular de papelão toma-se um dos cantos e desenha-se com o auxilio da régua um quadrado de 8x8 cm, ao lado desse quadrado desenha-se outro de 7x7 cm, prosseguimos desenhando quadrados cada vez menores com a diferença de 1 cm do anterior até obtermos 6 quadrados; Os quadrados serão as peças que substituirão os discos e devem ser enumerados de 1 a 6 da menor para a maior; em seguida recortamos esses quadrados que empilhados do maior para o menor formando uma torre de 6 peças; Fornecer uma folha (Figura-3) para cada dois alunos representando os pinos da Torre de Hanói onde serão colocadas as peças.

Figura 3- Folha disponibilizada pelo professor

 

           5. Em seguida, com os alunos jogando com os jogos confeccionados por eles mesmos, vamos introduzindo idéias matemáticas. Inicialmente, solicitamos que as crianças iniciem com as seis peças. Obviamente terão dificuldade em jogar, sugerir que iniciem com menos peças. Primeiro com uma peça e pedir qual o número mínimo de movimentos necessários para transportar a torre para o terceiro pino. Fazer o mesmo com duas peças, depois com três e quatro. Um dos alunos pode contar os movimentos e observar as regras enquanto o outro joga e inverter os papéis a cada peça adicionada. Eles podem encontrar o menor número de movimentos para transferir a torre de um pino a outro, bem como uma regularidade entre as jogadas, obtendo uma solução para um número qualquer de discos. (WATANABE, 2004).

          6. Os alunos devem construir uma tabela auxiliar relacionando o número de peças com o número mínimo de movimentos necessários para o transporte.

          Enquanto isso, algumas questões podem ser postas para ajudar o raciocínio: O número de movimentos é alterado quando a torre é transportada para o outro pino? Acrescentando uma peça à torre, em quanto aumentaria o número de movimentos? Existe alguma relação matemática entre o número mínimo de jogadas necessárias para transportar uma torre, e o número necessário para transportar a torre acrescida de uma peça? Existe alguma relação entre estes números e o que ocorre no jogo? Você utiliza alguma ideia matemática para escolher suas jogadas? Em caso afirmativo, qual, ou quais? Como você mobiliza essas ideias?

           Nessa altura os discentes já deverão ter percebido algumas estratégias para se vencer com o mínimo de movimentos possíveis. Se não tiverem percebido fazer com que observem por qual pino se deve começar quando o número de peças é par e quando o número de peças é impar, questioná-los quanto a esse fato.

Estratégia de vitória

      7. Descrever a estratégia de vitória em termos de estabelecer uma seqüência de transporte de modo que para se retirar cada peça da torre original, possa montar a subtorre acima dela em um único pino para então deslocar a referida peça para o outro pino.

Figura 4 – subtorre no segundo pino

          8. Sugerir que os alunos observem a tabela em especial às colunas Pç 1, Pç 2, Pç 3, Pç 4, Pç 6, e o que podemos notar nessas colunas em seguida nas linhas, o que podemos notar? É evidente que os termos das linhas estão decrescendo em razão dois (q = 2). Podemos dizer que o termo seguinte é a metade do anterior. Notamos também que o total mínimo de movimentos para cada quantidade de peças é a soma dos termos das respectivas linhas (soma de P.G.). Dessa forma introduz-se o conceito de Progressão Geométrica e também o de soma dos termos de uma P.G..

            9. Nas sequências acima, a lei de formação é?

É fácil notar que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por um número fixo, no caso o 2, e os alunos deverão perceber isso.

Atentar para o fato de que toda seqüência que tiver essa lei de formação será denominada progressão geométrica.

O número fixo pelo qual estamos multiplicando cada termo é chamado razão da progressão.

 10. Formalizando:

Progressão geométrica é uma sequencia de números não nulos em que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado razão da progressão.

Obs. 2: A quantidade mínima de movimentos das torres com n discos é igual à soma de uma P.G. finita de razão 2, 1º termo igual a 1 e com nº de termos igual ao nº de discos da torre.

Ao movimentarmos o número de discos, a quantidade de movimentos de cada peça cresce em P.G. de razão 2, com 1º termo igual a 1.

O nº de movimentos de uma torre com n discos é igual ao dobro de movimentos da torre com (n-1) discos, acrescido de 1 movimento.

Considerações finais

1) Se ao invés de 6 peças tivermos 7 ou então 9, como é mais comum nesse jogo, qual seria o nº mínimo de movimentos necessários para transportar a torre?
2) E se aumentarmos o n° de pinos, por exemplo, mais um pino ou então mais dois, o que muda no jogo?
3) Desafiar os alunos a calcular o n° mínimo de movimentos com 64 peças como no problema original de Eduardo Lucas.
           Para uma próxima aula pode se deduzir uma fórmula recursiva e em seguida uma lei geral para descobrir o número de movimentos necessários com uma determinada quantia de peças (n discos) no intuito de se chegar a fórmula da soma dos n termos de um P.G. finita.
O público alvo desta atividade são alunos do ensino médio, mas outras atividades podem ser adaptadas ao jogo para trabalhos com alunos do fundamental.

Grupo de Robson Eugênio